Scienza e metodo

recensione di Lolli, G., L'Indice 1997, n.10

L'"altro Poincaré", si usava dire per distinguere il matematico dal più famoso ministro Raymond; oggi Henri Poincaré assume sempre più il posto che gli compete nella galleria, unica e irripetibile, dei "savants" dell'Europa di un secolo fa. Tutti incominciano a sapere, se non a capire, che ha fondato ricerche attuali come quelle dello studio qualitativo delle equazioni differenziali, dei sistemi non lineari e del caos, la topologia e altre bazzecole. L'informazione in sé sarebbe inutile, da erudizione, se non si potesse accedere al suo pensiero, ed è meritoria quindi la messa a disposizione di scritti di Poincaré da parte degli editori; ma se non lo si può ugualmente leggere per difficoltà dei testi, siamo al punto di prima. Questo volume, che si affianca a quello curato dallo stesso Bartocci per Bollati Boringhieri ("Geometria e caso", 1995) ha il vantaggio di comprendere scritti di Poincaré che per i loro argomenti, oltre che per l'esposizione piana, possono interessare un vasto pubblico, e sono sempre attuali.
Questi "savants", di cui un esempio appena posteriore in Italia è stato Federigo Enriques, appartengono a una generazione che, in parte per la cultura generale della borghesia dell'epoca, in parte per la situazione di crescita rivoluzionaria ed esaltante, ma ancora unitaria e dominabile, delle scienze, poteva esprimere una forma di pensiero che è diventata sempre più rara tra gli scienziati successivi.
Senza stacchi artificiosi o soluzione di continuità, senza scarti di stile, il loro pensiero passava dai risultati precisi all'invenzione di nuovi concetti, dalla proposta di nuovi campi di ricerca alla riflessione sui fondamenti, e in un largo raggio di interessi che spaziava dalla geometria alla fisica alla logica.Pensavano a quello che facevano, oltre a fare un mucchio di cose, esprimendo "il bisogno di risalire continuamente ai principi primi della nostra scienza". Quando dicevano che la scienza è una creazione umana, lo dicevano sul serio, e affrontavano tutti i problemi che questo comportava, discutendone di conseguenza con filosofi e psicologi (si veda qui Poincaré: dopo avere proposto una definizione di "caso", si chiede e discute se il caso è oggettivo). Sapevano scrivere bene e amavano dispiegare tutta la ricchezza della loro lingua.
In questa raccolta di articoli, del 1908, la parte più interessante, certo accessibile, è il secondo capitolo dedicato al ragionamento matematico, con le discussioni con Russell, Peano e Hilbert.
La forza polemica di Poincaré è eccezionale, ma si accompagna a una competenza sommessa e non sfacciata; le sue battute taglienti si pensa abbiano sotterrato gli avversari (oltre però a danneggiare lo sviluppo della logica in Francia); bisogna ricordare però che egli ha dato almeno due acuti contributi alla discussione sui fondamenti: il primo è il rifiuto delle definizioni impredicative come responsabili delle antinomie, che ha originato un filone di studi importanti (Weyl, Russell); il secondo è l'argomento che la dimostrazione di Hilbert della non contraddittorietà del principio di induzione era destinata a scontrarsi circolarmente con la necessità, ragionevole e prevedibile, ancorché da lui non formalmente provata, di usare lo stesso principio nella dimostrazione. Il tempo gli ha dato ragione.
Poincaré non nega l'utilità delle ricerche svolte dai logisti; contesta l'idea di eliminare il sintetico a priori in modo troppo disinvolto. Il motivo sta nella sua concezione della matematica, bene illustrata nella prefazione di Bartocci con esempi di uso di concetti matematici; ma in questi scritti la si vede in forma addirittura poetica, seppure coerente con quella tecnica, quando Poincaré non fa, ma parla, della matematica, partendo da semplici problemi didattici.
Si chiede perché tante persone con una capacità logica normale non riescono a capire le dimostrazioni. Il problema è quello della lunghezza; tra il momento in cui incontriamo una proposizione come conseguenza di un sillogismo, e quella in cui la ritroviamo come premessa di un altro si sono sviluppati molti anelli della catena; può succedere che si sia dimenticata o, il che è più grave, che se ne sia dimenticato o deformato il senso. Si sente l'eco di Descartes e dei suoi rimedi alla lunghezza delle lunghe catene di piccoli passi. Così la specialità dei matematici sarebbe una memoria prodigiosa o una capacità di concentrazione, come negli scacchi, dove bisogna visualizzare tante combinazioni e trattenerle in memoria. Ma non è sufficiente la memoria: degli scacchi, Poincaré conosce le regole, e - dice - "sarei in grado di calcolare a che rischi mi esporrei giocando in un certo modo, ma poi passerei in rassegna molte mosse che scarterei per altre ragioni e finirei per giocare la prima mossa esaminata avendo dimenticato nel frattempo il pericolo che avevo previsto".
La memoria deve essere guidata dalla marcia generale del ragionamento. Per cogliere l'ordine, occorre un sentimento, un'intuizione, "quella sensibilità speciale del matematico, che è una sensibilità estetica", ma che ha un'espressione logica.
L'invenzione matematica "non consiste nel fare nuove combinazioni di enti matematici già conosciuti [chiunque lo può fare] (...) Inventare, consiste precisamente nel non costruire le combinazioni inutili, e nel costruire quelle che sono utili, che sono una minoranza (...) Inventare è discernere, è scegliere". Le migliori sono quelle in cui "questa intuizione dell'ordine matematico, ci fa divinare le armonie e le relazioni nascoste". Non è un caso che la parola che ritorna più di frequente sia quella di "armonia", la stessa delle "riposte armonie" usata da Guido Castelnuovo e Federigo Enriques nella loro corrispondenza, recentemente pubblicata (Bollati Boringhieri, 1996; cfr. "L'Indice", 1997, n. 3).Le armonie sono i collegamenti inaspettati che "rivelano parentele insospettate tra altri fatti, noti da tempo ma che si credeva non avessero relazione tra loro". Il metodo matematico consiste nell'unire sotto la stessa teoria interpretazioni diverse.
"Le combinazioni utili sono precisamente le più belle" perché lo spirito può cogliere agevolmente le connessioni. L'armonia così intesa è soddisfazione per lo spirito ma anche caratteristica intrinseca del valore della scoperta; è una misura di rendimento, che conferma la tesi di Mach che il valore di un fatto è la quantità di pensiero che permette di economizzare.
La brevità del ragionamento è ugualmente connessa all'armonia e all'invenzione. Sulla psicologia dell'invenzione matematica, Poincaré ha dato un importante e celebre contributo che si trova in questo volume (ed è commentato da Jacques Hadamard nel suo saggio "La psicologia" "dell'invenzione matematica"). Ha descritto le tappe di un suo risultato: una fase di lavoro preparatorio consapevole, periodi di riposo con attività di pensiero subliminale, infine un ritorno a quello cosciente. Ha descritto le illuminazioni che si verificano dopo la preparazione come caratterizzate da "brevità, subitaneità e certezza immediata".
Le combinazioni che si presentano allo spirito con una sorta di illuminazione subitanea dopo un lavoro inconscio "sono generalmente combinazioni utili e feconde, che sembrano il risultato di un primo filtraggio" intelligente. Solo quelle interessanti passerebbero nel campo della coscienza, "e questo è ancora ben misterioso". "Di solito si considera il sé subliminale come puramente meccanico [mentre l'inconscio non esegue invece calcoli meccanici come operazioni] (...)Il sé subliminale non è affatto inferiore a quello cosciente; non è puramente automatico, è capace di discernimento, ha tatto, delicatezza; sa scegliere; sa divinare".


BIBLIOGRAFIA

Opere di Poincaré in italiano sono state pubblicate in:
"Poincaré", a cura di Francesco Severi, L'arco, Firenze 1949.
"Opere epistemologiche", a cura di Giovanni Boniolo, Piovan, Abano Terme (Pd) 1949.
"Sui fondamenti della geometria", a cura di Ubaldo Sanzo, La Scuola, Brescia 1990.
"Scritti di fisica matematica", a cura di Ubaldo Sanzo, Utet, Torino 1993.

Sono poi state pubblicate le raccolte di
saggi:
"La scienza e l'ipotesi", Dedalo, Bari 1989, I ed. 1949.
"Il valore della scienza", Dedalo, Bari 1992, I ed. 1947.

Gli scritti su Poincaré sono numerosi, negli studi di storia della scienza, ma quasi tutti specialistici, eccetto:
P. Appell, "Henri Poincaré", Plon, Paris 1925.
A.Bellivier, "Henri Poincaré ou la vocation souveraine", Gallimard, Paris 1956.
"
"Per una valutazione complessiva della sua figura di matematico, si può vedere:
Jean Dieudonné, "Poincaré, Jules Henri", in "Dictionary of Scientific Biography", a cura di C. C. Gillespie, Scribner's, New York 1981.

Su aspetti particolari del suo lavoro:
P. S. Alexandrov, "Poincaré and topology", in "The mathematical heritage of Henri Poincaré", a cura di E.F. Browder, American Mathematical Society, Providence 1972.
Umberto Bottazzini, "Matematica razionale", in "Storia della Scienza moderna e contemporanea", diretta da Paolo Rossi, Utet, Torino 1988.
P. Holmes, "Poincaré, celestial mechanics, dynamical-systems theory and "chaos"", "Physics Reports", 1990, n. 193, pp. 137-63.
R. McCormmack," Henri Poincaré and the quantum theory", "Isis", 1967, n.58, pp.37-55.
J.-C. Pont, "La topologie algébrique des origines à Poincaré", Puf, Paris 1974.
J.-L. Chavert e A. D. Dalmedico, "Les idées nouvelles de Poincaré", in "Chaos et déterminisme", a cura di A.Dahan Dalmedico, J.-L. Chabert e K. Chemla, Seuil, Paris 1992.
Abraham Pais, "'Sottile è il Signore...'", Boringhieri, Torino 1991, ed. orig. 1986 (sulla relatività).