Opere. Vol. 1: 1929-1936.

recensioni di Casalegno, P. L'Indice del 2000, n. 04

Negli ultimi mesi del 1977, Kurt Gödel fu definitivamente travolto dalla follia che lo aveva insidiato per tutta la vita. Chiuso nella sua casa di Princeton, dov'era rimasto solo da quando la moglie era stata ricoverata in ospedale per un'operazione, non voleva vedere nessuno, e la paura ossessiva di essere avvelenato gli impediva di alimentarsi. Un giorno il logico cinese Hao Wang, una delle pochissime persone di cui sembrava che ancora si fidasse, bussò alla sua porta sperando di fargli accettare un pollo arrosto; lui si rifiutò di aprire, e Wang finì per andarsene lasciando il pollo sulla soglia. Quando tornò dall'ospedale, la moglie, allarmata per le sue condizioni, lo persuase a farsi ricoverare a sua volta. Ma era ormai troppo tardi: Gödel morì il 14 gennaio 1978, di "malnutrizione e inanizione - recita il referto medico - causate da disturbi della personalità".
Nonostante la tendenza alla depressione e al delirio paranoico, Gödel era stato dotato dalla natura di un'intelligenza prodigiosa. Nato nella città morava di Brno nel 1906, aveva frequentato l'università di Vienna, e prima ancora di terminare gli studi, tra la fine degli anni venti e l'inizio degli anni trenta, aveva dimostrato due teoremi che sono il fondamento di tutta quanta la logica matematica contemporanea: il teorema di completezza per la logica del primo ordine e il teorema di incompletezza per l'aritmetica (quest'ultimo è quello cui ci si riferisce di solito quando si parla di "teorema di Gödel" senza ulteriori specificazioni). In seguito si era dedicato alla teoria degli insiemi, affrontando il cosiddetto "problema del continuo", che David Hilbert, in una famosa conferenza tenuta nel 1900, aveva posto in cima all'elenco di quelli che erano, a suo avviso, i più importanti problemi aperti con cui avrebbero dovuto cimentarsi i matematici nel nuovo secolo. Il problema era: quanti sono i punti di una retta? Gödel non aveva fornito una risposta a questa domanda, ma con le sue ricerche aveva aperto una strada che avrebbe condotto, all'inizio degli anni sessanta, a una scoper-
ta sconcertante: una risposta alla domanda in realtà non c'è. Nel 1940 si era trasferito negli Stati Uniti (in Europa non sarebbe tornato mai più) ed era diventato membro dell'Institute for Advanced Study di Princeton. I suoi interessi si erano progressivamente spostati dalla logica e dalla teoria degli insiemi alla filosofia e alla fisica. Stimolato forse dall'amicizia con Albert Einstein, si era occupato di cosmologia relativistica, conseguendo anche in questo campo risultati notevoli: scoprendo, ad esempio, che è compatibile con la teoria della relatività la possibilità di viaggiare a ritroso nel tempo. Per questi suoi studi gli era stato conferito nel 1951 il premio Einstein, il primo di molti riconoscimenti ufficiali tributati ai suoi eccezionali meriti scientifici. Poi era cominciato il declino. Il proprio acume intellettuale Gödel l'aveva conservato ancora a lungo, ma la sua creatività si era andata affievolendo, mentre su di lui si addensavano ombre via via sempre più cupe. Afflitto da malanni fisici in parte reali ma soprattutto immaginari, intralciato nella vita quotidiana da ubbie e fisime di ogni sorta, tormentato da sospetti morbosi che lo rendevano diffidente di tutto e di tutti, aveva finito per ridursi a un isolamento quasi completo. Nei pochi amici che gli erano rimasti il suo stato aveva suscitato preoccupazione e sgomento. Al tempo stesso, la sua inavvicinabilità aveva contribuito a farne ancora in vita, agli occhi di coloro che in tutto il mondo ne conoscevano e ammiravano l'opera, una figura quasi leggendaria.
Dopo la sua morte, si pensò subito - com'era ovvio - a un'edizione dei suoi scritti. Ad assumersi l'onere dell'impresa fu il logico statunitense Solomon Feferman, il quale, giovandosi dell'aiuto di collaboratori prestigiosi, ha curato tre volumi apparsi fra il 1986 e il 1995 per i tipi della Oxford University Press: i primi due includono rispettivamente i lavori pubblicati da Gödel fino al 1936 e dal 1938 in poi, mentre il terzo offre un'ampia selezione del Nachlass (è prevista anche la pubblicazione di un quarto volume, contenente una scelta dell'epistolario). Del primo di questi volumi esce ora la versione italiana. È stato giudicato opportuno un certo alleggerimento, sicché dei lavori di Gödel - tutti in tedesco tranne uno che è in inglese - viene fornita la sola traduzione, e non anche il testo originale. Sono state eliminate pure alcune pagine di note filologiche. Per il resto l'impianto del volume non ha subito alterazioni. I lavori di Gödel sono ordinati cronologicamente e preceduti da eccellenti introduzioni che li collocano in prospettiva storica e ne illustrano i punti salienti. Al volume è premesso inoltre un sintetico ma denso resoconto della vita e dell'attività scientifica di Gödel redatto da Feferman.
Sono qui raccolti tutti gli scritti pubblicati da Gödel fino al 1936 più la sua tesi di laurea e il testo, pubblicato per la prima volta nel 1965, di lezioni tenute a Princeton nel 1934. Questo significa che il volume fornisce un quadro quasi esaustivo dei contributi di Gödel alla logica in senso stretto.
Compito del logico è anzitutto individuare i tipi di ragionamento logicamente corretti cercando di ridurli a un numero il più limitato possibile di principi formulati esplicitamente e di regole applicabili in modo meccanico; questo è, nella sostanza, ciò che si intende quando si parla di "formalizzazione" della logica. Il primo illustre esempio di formalizzazione della logica è costituito, com'è noto, dalla teoria del sillogismo sviluppata da Aristotele negli Analitici primi. Ma questa teoria, sebbene ammirevole da diversi punti di vista, ha un difetto: è incompleta, nel senso che ci sono moltissimi ragionamenti logicamente corretti che non possono essere ridotti in forma sillogistica. Ci sono voluti più di duemila anni perché qualcuno riuscisse a fare davvero qualcosa di meglio. Nella seconda metà dell'Ottocento, Gottlob Frege, il fondatore della logica moderna, mise insieme un sistema di principi e di regole che, nelle intenzioni, sarebbe dovuto bastare a giustificare tutti i tipi di inferenza logica di cui si fa uso in matematica (Frege, in realtà, era convinto che la matematica non fosse altro che logica). Ora, il sistema di Frege era certo infinitamente più ricco di quello di Aristotele; ma era completo? Oppure anch'esso si lasciava sfuggire qualche tipo di ragionamento? Non era affatto chiaro quale fosse la risposta. Anzi, non era neppure chiaro, in partenza, se un sistema logico completo potesse esistere. Il teorema di completezza di Gödel dissipò tutti questi dubbi: il sistema di Frege è effettivamente completo, almeno per quel che concerne il suo nucleo essenziale, la cosiddetta "logica del primo ordine" (che del resto, a giudizio di molti, è tutta quanta la logica).
Se il teorema di completezza - dimostrato da Gödel nella sua tesi di laurea e poi divulgato in un articolo del 1930 - sancisce il pieno successo dell'impresa di formalizzare la logica, l'altro suo grande risultato, il teorema di incompletezza, mette in luce certe limitazioni intrinseche del metodo assiomatico in matematica. Assiomatizzare una data teoria matematica significa isolare all'interno di tale teoria alcune proposizioni fondamentali - gli assiomi, appunto - da cui tutte le altre proposizioni della teoria siano deducibili per via puramente logica. Anche qui sorge una questione di completezza: qualora ci venga proposto un sistema di assiomi, infatti, possiamo chiederci se le proposizioni deducibili da questi assiomi siano effettivamente tutte le proposizioni vere della porzione di matematica che si sta considerando. Ad esempio: dai cosiddetti "assiomi di Peano", che sono un noto sistema di assiomi per l'aritmetica, sono effettivamente deducibili tutte le proposizioni vere dell'aritmetica? Il fatto sorprendente dimostrato da Gödel è che non solo questa domanda ha risposta negativa, ma che, per quanto ci si affanni ad arricchire il sistema di Peano con l'aggiunta di assiomi ulteriori, ci sarà sempre qualche proposizione aritmetica vera che possiamo facilmente riconoscere come tale e che tuttavia non può essere dedotta dal sistema di assiomi così ottenuto (e ciò che vale per l'aritmetica vale anche per teorie matematiche più complesse). Questo è il contenuto del teorema di incompletezza, di cui nel volume di cui stiamo parlando il lettore troverà due esposizioni dettagliate: l'articolo del 1931 che Feferman definiva "il più sensazionale e maggiormente citato fra gli articoli sulla logica e sui fondamenti della matematica apparsi nei primi ottant'anni di questo secolo", e le lezioni di Princeton del 1934, cui già si è accennato.
Le ragioni per cui il teorema di incompletezza è importante sono molteplici, e non tutte di ordine meramente tecnico. Un corollario del teorema afferma che è impossibile dimostrare la coerenza di un sistema di assiomi coerente a partire esclusivamente da tali assiomi, il che implica l'irrealizzabilità dell'ambizioso programma di fondazione della matematica che era stato concepito da Hilbert. Come molti altri matematici della sua epoca, Hilbert era preoccupato dal problema della coerenza, anche perché la recente scoperta dei paradossi insiemistici aveva dato l'impressione che le contraddizioni potessero annidarsi ovunque, persino là dove meno ce lo si sarebbe aspettato. Di una teoria matematica assiomatizzata si poteva investigare la struttura logica, cercando di dimostrare che gli assiomi su cui essa si basava di contraddizioni non ne generavano; ma che garanzia c'era che i metodi di ragionamento impiegati in una tale dimostrazione non fossero essi stessi contraddittori? Come evitare il regresso all'infinito nella catena delle dimostrazioni di coerenza? L'idea di Hilbert era di effettuare queste dimostrazioni limitandosi a usare metodi di ragionamento così elementari che la loro correttezza riuscisse del tutto evidente e non abbisognasse di giustificazioni ulteriori. I metodi cui Hilbert pensava erano metodi combinatori semplicissimi: in pratica, un frammento dell'aritmetica. Di conseguenza, la realizzazione del suo progetto avrebbe dovuto comportare la dimostrazione della coerenza di tutte le teorie matematiche, e in particolare dell'aritmetica, all'interno dell'aritmetica. Ora, questo è proprio ciò che, alla luce del risultato di Gödel di cui si è detto, appare impossibile.
Il teorema di incompletezza ha una certa rilevanza anche per la questione se la mente umana abbia capacità che eccedono in linea di principio quelle di un qualsiasi computer oppure no. Nel corso dei decenni, è stato più volte proposto un ragionamento che, ridotto all'osso, è il seguente: se la nostra mente funzionasse come un computer, allora tutte le proposizioni matematiche che siamo in grado di riconoscere come vere sarebbero deducibili da un singolo sistema di assiomi; ma, per il teorema di incompletezza, nessun sistema di assiomi può generare tutte e sole le proposizioni matematiche che siamo in grado di riconoscere come vere; dunque, la nostra mente non funziona come un computer. Che il ragionamento regga è perlomeno dubbio; ma i tentativi di darne una formulazione persuasiva continuano. Un tentativo recente e molto noto è quello del matematico inglese Roger Penrose, i cui libri sulla natura della mente hanno riscosso anche in Italia un interesse notevole. Dal canto suo Gödel, pur essendo fermamente convinto che la mente umana non fosse assimilabile a un computer, riteneva che dal suo teorema si potesse trarre solo una conclusione più debole: o ci sono problemi matematici che la mente umana è assolutamente incapace di risolvere, oppure la mente umana ha capacità superiori a quelle di qualsiasi computer.
Oltre ai lavori sui teoremi di completezza e di incompletezza, questo primo volume delle Opere di Gödel include poi parecchio altro materiale. Si tratta per lo più di articoli molto brevi, che, rispetto ai grandi contributi di cui abbiamo parlato, possono apparire cose minori, ma che in realtà sarebbero stati sufficienti, da soli, a garantire a Gödel un posto di riguardo nella storia della logica del Novecento. Una curiosità: l'articolo del 1933 sul cosiddetto "problema della decisione" contiene, nella frase conclusiva, quello che è - credo - l'unico errore matematico vero e proprio rintracciabile negli scritti pubblicati da Gödel in vita (peraltro, ci sono voluti cinquant'anni per stabilire che era proprio un errore). Un'altra curiosità è costituita dalle recensioni, sintetiche ma accurate, che Gödel redasse per due riviste scientifiche tra il 1931 e il 1935.
C'è una caratteristica degli scritti di Gödel che io trovo straordinaria e che penso debba essere sottolineata: la loro leggibilità. Ad esempio: per quanto possa sembrare incredibile, le due presentazioni del teorema di incompletezza menzionate sopra sono alla portata di qualunque studente di matematica o di filosofia che conosca anche solo i rudimenti della logica. Naturalmente è richiesto un serio impegno, ma ne vale la pena. Leggere Gödel non solo, com'è ovvio, è enormemente più istruttivo che attingere le proprie informazioni da divulgatori superficiali e approssimativi, ma può essere inoltre, se si ha un po' di gusto per queste cose, un'esperienza intellettuale assai gratificante. Quando nel 1963 il giovane matematico statunitense Paul Cohen, procedendo lungo la strada che Gödel aveva aperto molti anni prima, dimostrò che il problema del continuo è, entro il quadro teorico della matematica odierna, insolubile, si rivolse proprio a Gödel, ansioso di avere il suo giudizio su quanto aveva fatto. E Gödel, con una cordialità per lui insolita, dichiarò che la lettura del manoscritto di Cohen gli aveva procurato "un piacere paragonabile a quello che si prova assistendo a un lavoro teatrale davvero buono". In realtà, questo genere di piacere può procurarlo qualsiasi argomentazione rigorosa e ben articolata che conduca a conclusioni inaspettate e profonde. Il guaio è che i matematici contemporanei parlano di solito un linguaggio così specialistico e tecnico da riuscire comprensibile solo a chi si sia sottoposto a un lungo tirocinio. Da questo punto di vista, lavori come quelli in cui Gödel presenta il teorema di incompletezza rappresentano, con la loro linearità, una mirabile eccezione; ed è bene cercare di approfittarne.
Non resta che augurarsi, per concludere, che anche gli altri due volumi delle Opere di Gödel siano presto resi disponibili in versione italiana.